Вычислительная гидрогазодинамика. Часть 1, 2

Добров Ю. В.
Специалисты, 9-10 семестр. Магистры 1-2 семестр.
Курс лекций по выбору. Рекомендуется всем, кто интересуется вычислительной гидромеханикой.

Рассматриваемые в данном курсе вопросы связаны с механикой, а именно с механикой сплошной среды, которая опирается на широкий математический аппарат, построенный на дифференциальных уравнениях в частных производных. Развитие вычислительной техники способствовало появлению самостоятельного направления, которое можно назвать вычислительной механикой, где сложные дифференциальные уравнения решаются приближенными численными методами. В современной вычислительной механике можно выделить три основных раздела: нелинейная механика многих тел; вычислительная механика деформируемого твердого тела; и вычислительная гидрогазодинамика, которая в иностранной литературе обозначается как Computational Fluid Dynamics (CFD). Именно последнему разделу вычислительной механики и посвящен данный курс.

Для решения практических задач техники в последнее время все чаще используют подход математического моделирования или вычислительный эксперимент, который основывается в том числе и на методах вычислительной механики. По классификации академика А.А. Самарского математическое моделирование включает в себя три глубоко связанных между собой этапа:

• Модель. Разработка математической модели явления, приближенное его описания с помощью уравнений, введения в модель уточнений и допущений, анализ адекватности модели и ее апробация;
• Алгоритм. Разработка численного метода приближенного решения полученных дифференциальных уравнений, их дискретизация и сведению к системе алгебраических уравнений. Дискретный эквивалент дифференциальной краевой задачи называется разностной схемой;
• Программа. Составление и отладка вычислительных программ, проведение расчетов на компьютере.

Преимущество вычислительного эксперимента состоит в том, что можно сократить объем дорогостоящих натурных экспериментов и изучать явление с помощью компьютера, исследовать детали физического процесса, которые не могут быть зафиксированы современными измерительными приборами. Это имеет наибольшее значения в случаях, когда проведение натурного эксперимента дорого, опасно или вовсе невозможно.

В первой части курса излагаются основы теории разностных схем, применительно к задачам численного решения уравнений с частными производными, основные понятия и принципы теории вычислительных методов применительно к решению задач механики жидкости и газа. В рамках курса рассматриваются основные понятия теории разностных схем (сетка, сеточные функции, ошибка аппроксимации), примеры простейших схем, явные и неявные схемы, многошаговые схемы. Дается интегральный метод построения аппроксимирующих схем. Проводится исследование устойчивости разностных схем методом малых возмущений, исследование разностных схем с помощью первого дифференциального приближения. Изучается схемная и искусственная вязкость. Проводится оценка погрешности численного решения методом Рунге. Рассматриваются схемы для задач нестационарной газодинамики (на примере одномерного течения), схемы Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака, метод характеристик для одномерных нестационарных задач газовой динамики, сеточно-характеристические методы, метод прогонки для решения сеточных уравнений (скалярная и векторная прогонка), неявная шеститочечная схема для уравнений пограничного слоя, разностные схемы для уравнения Пуассона и решение получающихся сеточных уравнений, простые итерации и метод Зейделя, запись уравнений Навье-Стокса через вихрь и функцию тока, схема Фромма для интегрирования уравнений Навье-Стокса, схема Патанкара-Сполдинга для стационарных задач тепло-массообмена.

Во второй части курса является ознакомление студентов с численными методами решения уравнений в частных производных и применением этих методов в задачах гидрогазодинамики. Поставленные цели достигаются путём решения следующих задач курса: изучение основ теории и принципов построения разностных схем и ознакомление с наиболее распространенными методами численного решения задач механики жидкости и газа. Для успешного освоения дисциплины студент должен иметь предварительную подготовку в объеме курса физики, алгебры, математического анализа, основ математической физики по программе первого – третьего университетских курсов.

Занятия проводятся в форме лекций и консультаций, а также посредством самостоятельной работы с использованием методических материалов.

Курс сопровождается вычислительным практикумом, который обеспечивается прилагаемыми программными средствами.

В результате освоения курса обучающийся сможет создавать математические модели и владеть математическими методами расчетов задач механики жидкости, газа и плазмы, а также владеть методами механического, физического и математического исследования при анализе проблем фундаментальной математики и механики на основе глубоких знаний фундаментальных физико-математических дисциплин и компьютерных наук.

Список литературы

• Емельянов В.Н. Введение в теорию разностных схем: учебное пособие // Балт. гос. техн. ун-т. — Спб., 2006. — 192 с.
• Матвеев С.К. Введение в вычислительную гидроаэромеханику. // Учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2014.